Lời giải:

$2xyz=x+y+z$

$2=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}$

Không mất tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$ 

$\Rightarrow xy\geq xz\geq yz$

$\Rightarrow \frac{1}{xy}\leq \frac{1}{xz}\leq \frac{1}{yz}$

$\Rightarrow 2\leq \frac{3}{yz}$$

$\Rightarrow yz\leq \frac{3}{2}$. Mà $yz$ nguyên dương nên $yz=1$

$\Rightarrow y=z=1$. Thay vào pt ban đầu:

$2x=x+2$

$x=2$

Vậy $(x,y,z)=(2,1,1)$ và hoán vị.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\).

Khi đó ta có: \(13=xyz+x^2+y^2+z^2\ge z^3+3z^2\)

suy ra \(z=1\). 

\(12=xy+x^2+y^2\ge y^2+y^2+y^2=3y^2\)

\(\Rightarrow y=1\)hoặc \(y=2\).

Với \(y=1\): \(x^2+1+1+x=13\Leftrightarrow x^2+x-11=0\)không có nghiệm nguyên dương. 

Với \(y=2\): \(x^2+2^2+1^2+1.2.x=13\Leftrightarrow x^2+2x-8=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+4\right)=0\)

\(\Rightarrow x=2\)thỏa mãn. 

Vậy phương trình có nghiệm là \(\left(1,2,2\right)\)và các hoán vị. 

\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{yz}=\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow4yz=\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)\)

\(\Rightarrow4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz-12-\left(x-y-z\right)^2\) (1)

\(\sqrt{3}\) là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi: \(x-y-z=0\)

Thay ngược vào (1) \(\Rightarrow yz=3\Rightarrow\left(y;z\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\Rightarrow x=4\)

bạn ơi đề khó nhìn vậy  

272`6`54-543564396738